О теореме Ирншоу

В предыдущей заметке я привёл оценки размеров молекул и энергий химических взаимодействий. Они по своей природе электростатические. Однако, свести все взаимодействия атомов к притяжению-отталкиванию статических зарядов δ+ и δ- не получится. Теорема Ирншоу утверждает, что всякая неподвижная конфигурация точечных зарядов неустойчива в пространстве.

Доказательство теоремы Ирншоу опирается на теорему Гаусса. Согласно которой поток вектора напряжённости электрического поля $\vec{\Phi}{}_{E}$ через замкнутую поверхность S пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду Q: $$ \vec{\Phi}{}_{E}=\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\epsilon_{0}} $$ Другими словами, число силовых линий поля, входящих в поверхность S огораживающую заряд Q, минус число силовых линий выходящих из неё, пропорциональны величине заключенного внутри заряда. Когда внутри ничего нет поток равен нулю. Сколько силовых линий поля зашло, столько и вышло.

Слева – иллюстрация действия теоремы Гаусса. Суммарный поток вектора напряженности (число силовых линий) равен нулю, так как внутри объёма, ограниченного поверхностью S пусто. Справа – противоречие теореме Гаусса, вызванное допущением, будто бы существует устойчивое равновесие для системы точечных зарядов.

Теорема Ирншоу доказывается от противного. Допустим, что какая-то система неподвижных точечных зарядов находится в устойчивом равновесии. Под устойчивостью следует понимать не то, что внешние силы, действующие на заряд равны нулю, а то, что любое малое отклонение вызывает силы, возвращающие заряды на исходные положения.

В этой системе зарядов силы скомпенсированы, но равновесие не устойчиво.

Возьмем любой заряд q этой системы, находящийся в равновесии в точке A, схема на рисунке справа. Если заряд q сместится в близкую точку A', то должна возникнуть сила, направленная к исходной точке A, стремящаяся вернуть заряд на своё место. Пусть $\vec{E}$ – электрическое поле, создаваемое всеми остальными зарядами, кроме q. В точке A' оно должно быть направлено к A, каково бы не было направление смещения AA'. Поле $\vec{E}$ действует на заряд q возвращая его в равновесное положение. Заряд q ограничен замкнутой поверхностью S, так, чтобы все прочие заряды не попадали внутрь. Так как поле $\vec{E}$ на поверхности S всегда направлено к A, то поток вектора $\vec{E}$ через поверхность S ненулевой. Это противоречит теореме Гаусса. Поток должен быть равен нулю, так как это поле создаётся всеми зарядами, расположенными вне S. Противоречие. Такое поле не может существовать, значит, не создаётся устойчивое равновесие.
Однако, как мы знаем, атомы и молекулы, составленные из практически точечных зарядов устойчивы. Речь идёт о неустойчивости системы точечных зарядов. В модели атома Томсона атом представляет собой «булку с изюмом», точечные электроны находятся в статическом равновесии внутри облака положительного заряда ядра. В результате опытов Резерфорда по рассеянию альфа-частиц обнаружено, что ядра скорее точки, как и электроны, а не облака. На основании этого опыта модель Томсона была отвергнута..
Следовательно, атомные системы представляют собой не закрепленные в пространстве заряды, а движущиеся заряды, то есть ядра и электроны в динамике. Законы систем движущихся зарядов описываются в электродинамике.